안녕하십니까? 한말연구학회입니다.

"없음/없슴" 가운데 "없음"이 맞습니다.
1988년 표준어를 개정하면서(시행은 1989년부터) 기존에 "-읍니다/습니다" 둘 다 써오던 말 가운데 "-습니다"만 표준어로 정했습니다. 그 이후로 많은 분들이 잘못 알고 있는 표기 가운데 하나가 "없슴"입니다.
그런데 "-습니다"와 "-음"은 전혀 관련이 없는 형태입니다. "없습니다"는 "없다"의 어간 "없-"에 상대방을 높이는 어미 "-습니다"를 붙인 것이라면 "있음"은 "있다"의 어간 "없-"에 명사형을 만드는 어미 "-음"을 결합한 것이므로 "없음"이 맞습니다. 다음 관계를 비교하면 쉽게 이해가 가실 겁니다.

▲ 먹-다 : 먹습니다 - 먹슴(X), 먹음(ㅇ)
▲ 없-다 : 없습니다 - 없슴(X), 없음(ㅇ)
▲ 했-다 : 했습니다 - 했슴(X), 했음(ㅇ)

"없다"의 명사형을 "없슴"이라고 쓰는 것은 마치 "먹다"의 명사형을 "머금""이라고 쓰는 것과 같습니다.